Integral

3 min read

Dalam materi pelajaran Matemetika tentunya kita akan menemui yang namanya Integral. Lalu apa itu integral? dalam pembahasa kali ini materiumum akan menjelaskan tentang integral, rumus integral serta beberapa contoh soal penyelesaian perhitungan integral.

Apa Itu Integral? Pengertian dan Definisi

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Singkatnya, perngertian dan definisi integral, merupakan bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan (invers) pdari enjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus.

Dari pengertian tersebut terdapat dua hal yang dilakukan dalam perhitungan integral hingga dikategorikan menjadi 2 jenis. Yaitu, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut juga sebagai Integral Tak Tentu. lalu yang Kedua, integral sebagai limit dari jumlah ataupun suatu luas daerah tertentu yang disebut integral tentu. Perbedaan keduanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Integral dilambangkan dengan logo sebagai berikut;

Simbol dan lambang Integral

Integral tak Tentu

Integral tak tentu seperti dijelaskan pada pengertian diatas, merupakan sebuah invers atau kebalikan dari turunan. Dimana, apabila sebuah turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan sebuah fungsi itu sendiri. Contoh perhatikanlah turunan-turunan dalam fungsi aljabar dibawah berikut ini:

  1. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 adalah yI = 3x2
  2. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
  3. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
  4. Turunan dari fungsi aljabar yakni: y = x3 – 6 adalah yI = 3x2

Didalam sebuah materi turunan, variabel dalam suatu fungsi akan mengalami penurunan pangkat.

Berdasarkan contoh diatas, diketahui bahwa ada banyak fungsi yang memiliki hasil turunan yang sama yaitu y= 3x2. Fungsi dari variabel x3 ataupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah atau dikurang suatu bilangan (misal contohnya : +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.

Apabila  turunan tersebut dintegralkan, maka seharusnya ialah menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan. Namun, dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

f(x)= y = x3 + C

Dengan nilai C bisa berapapun jumlahnya. Notasi C ini biasa disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu ini dari suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

Integral tak tentu ini dari suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

\int f(x) dx

Pada notasi tersebut, dapat dibaca sebagai integral terhadap notasi x yang disebut integran.

Secara umum integral dari fungsi f(x) ialah penjumlahan F(x) dengan C atau ditulis:

\int f(x) dx = F(x)

Oleh karena integral dan turunan saling berkaitan, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumusan penurunan tersebut. Maka turunan ialah:

\frac{d}{dx}\frac{a}{(n+1)}x^{(n+1)} = ax^n

Maka rumus integral aljabar akan diperoleh:

\int ax^n dx = \frac{a}{(n+1)}x^{n+1} + C

dengan syarat-syarat n \neq 1.

Sebagai bahan contoh, lihatlah integral aljabar fungsi-fungsi berikut:

  1. \int 4x^3dx=\frac{4}{(3+1)}x^{(3+1)}+ C = x^4 + C
  2. \int \frac{1}{x^3}dx = \int x^{-3} dx = \frac{1}{(-3+1)}x^{-3+1}+C
    = -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^2}+C
  3. \int 4x^3 - 3x^2 dx = \frac{4}{(3+1)} x^{(3+1)} + \frac{3}{(2+1)}x^{(2+1)}+C
    = x^4+x^3+C

Integral Tentu

Integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh seorang ilmuan terkenal yaitu Newton dan Leibinz yang kemudian diperkenalkan lebih lanjut secara modern oleh Riemann.

Pengertian Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Didalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas-batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.

Mengenal Beberapa Sifat dan Rumus Integralnya

Dibawah ini adalah sifat dari operasi integral;

Rumus Dasar Integral

Berikut adalah rumus-rumus dasar perhitungan Integral

Selain jajaran rumus dasar di atas, perhitungan integral juga dapat dilakukan dengan mengunakan rumus cepat yang lebih pratis seperti dibawah ini;

Contoh Soal Integral + Rumus Penyelesaian

 

Integral Trigonometri

Integral juga bisa dioperasikan pada fungsi trigonometri. Pengoperasian integral trigonometri juga dilakukan dengan konsep yang sama pada pada integral aljabar yaitu kebalikan dari penurunan. Sehingga dapat simpulkan bahwa:

No. Fungsi f(x) = y Turunan \frac{dy}{dx} Integral
1 y = sin x cos x  \int \cos x dx= sin x
2 y = cos x – sin x \int \sin x dx = – cos x
3 y = tan x sec2 x \int \sec^2 x dx = tan x
4 y = cot x – csc2 x \int \csc^2 x dx = – cot x
5 y = sec x tan x . sec x \int \tan x . \sec x d = sec x
6 y = csc x -.cot x . csc x \int \cot x . \csc x dx = – csc x

Selain rumus dasar diatas, ada rumus lain yang bisa digunakan pada pengoperasian integral trigonometri yaitu:

Fungsi f(x) = y Turunan \frac{dy}{dx} Integral
y = \frac{1}{a} \sin(ax+b) cos (ax + b) \int \cos (ax+b) dx = \frac{1}{a} sin (ax + b) + C
 y = - \frac{1}{a} \cos (ax + b) sin (ax + b) \int \sin (ax+b) dx = -\frac{1}{a} cos (ax + b) + C
y = \frac{1}{a} tan (ax + b) sec2 (ax + b)  \int \sec^2(ax+b)dx= \frac{1}{a} tan (ax + b) + C
y = -\frac{1}{a} cot (ax + b) csc2 (ax + b) \int \csc^2(ax+b) dx = - \frac{1}{a} cot (ax + b)
y = -\frac{1}{a} sec (ax + b) tan (ax + b) . sec (ax + b) \int (ax+b) . sec(ax + b) dx= \frac{1}{a} sec (ax + b) + C
y = -\frac{1}{a} csc (ax + b) cot (ax + b) . csc (ax + b) \int cot (ax + b) . csc (ax + b) dx = -\frac{1}{a} csc (ax + b)

Menentukan Persamaan Kurva

gradien dan persamaan garis singgung kurva di suatu titik. Jika y = f(x), gradien garis singgung kurva di sembarang titik pada kurva ialah y’ = = f'(x). Oleh sebab itu, jika gradien garis singgungnya sudah diketahui jadi persamaan kurvanya bisa ditentukan dengan cara berikut.
y = ʃ f ‘ (x) dx = f(x) + c
Andai salah satu titik yang melalui kurva sudah diketahui, nilai c bisa diketahui sehingga persamaan kurvanya bisa ditentukan.

Contoh Soal Integral – Persamaan Kurva – 1

Diketahui turunan y = f(x) ialah = f ‘(x) = 2x + 3
Andai kurva y = f(x) melalui titik (1, 6)
tentukan persamaan kurva tersebut.
Jawab :
f ‘(x) = 2x + 3.
y = f(x) = ʃ (2x + 3) dx = x2 + 3x + c.
Kurva melalui titik (1, 6), berarti f(1) = 6 hinggabisa di tentukan nilai c, yaitu 1 + 3 + c = 6 ↔ c = 2.
Maka, persamaan kurva yang dimaksud adalah y = f(x) = x2 + 3x + 2.

Contoh Soal Integral – Persamaan Kurva – 2

Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) ialah 2x – 7. Jika kurva itu melalui titik (4, –2), tentukanlah persamaan kurvanya.
Jawab :
f ‘(x) = = 2x – 7
y = f(x) = ʃ (2x – 7) dx = x2 – 7x + c.
Karena kurva melalui titik (4, –2)
maka : f(4) = –2 ↔ 42 – 7(4) + c = –2
–12 + c = –2
c = 10
Maka, persamaan kurva tersebut yaitu y = x2 – 7x + 10.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *